Đồ thị hàm số \(y=f\left(\left|x\right|\right)\)

\(f^2\left(\left|x\right|\right)+\left(m-1\right)f\left(\left|x\right|\right)-m=0\left(1\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}f\left(\left|x\right|\right)=1\left(2\right)\\f\left(\left|x\right|\right)=-m\left(3\right)\end{matrix}\right.\)

Từ đồ thị ta thấy phương trình \(\left(2\right)\) có hai nghiệm phân biệt nên phương trình \(\left(1\right)\) có hai nghiệm phân biệt khi phương trình \(\left(3\right)\) có hai nghiệm phân biệt khác hai nghiệm của phương trình \(\left(2\right)\).

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}-m=-3\\-1< -m< 1\\-m>1\end{matrix}\right.\)

...

Đề hình như hơi sai sai ở chỗ \(-7.3^m\) cuối cùng

Đúng như vầy thì chắc ko làm được đâu, \(-7.3m\) mới có cơ hội biến đổi

Xét \(I_1=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0f\left(sinx\right)dx\)

Đặt \(x=\pi-t\Rightarrow dx=-dt\) ; \(sinx=sin\left(\pi-t\right)=sint\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=\pi\\x=\dfrac{\pi}{2}\Rightarrow t=\dfrac{\pi}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow I_1=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_{\pi}f\left(sint\right).\left(-dt\right)=\int\limits^{\pi}_{\dfrac{\pi}{2}}f\left(sint\right)dt=\int\limits^{\pi}_{\dfrac{\pi}{2}}f\left(sinx\right)dx\)

\(\Rightarrow4042=2I_1=\int\limits^{\dfrac{\pi}{2}}_0f\left(sinx\right)dx+\int\limits^{\pi}_{\dfrac{\pi}{2}}f\left(sinx\right)dx=\int\limits^{\pi}_0f\left(sinx\right)dx\)

Xét \(I_2=\int\limits^{\pi}_0x.f\left(sinx\right)dx\)

Đặt \(x=\pi-t\Rightarrow dx=-dt;sinx=sint\) ; \(\left\{{}\begin{matrix}x=0\Rightarrow t=\pi\\x=\pi\Rightarrow t=0\end{matrix}\right.\)

\(I_2=\int\limits^0_{\pi}\left(\pi-t\right)f\left(sint\right)\left(-dt\right)=\int\limits^{\pi}_0\left(\pi-t\right)f\left(sint\right)dt=\int\limits^{\pi}_0\left(\pi-x\right)f\left(sinx\right)dx\)

\(=\pi\int\limits^{\pi}_0f\left(sinx\right)dx-\int\limits^{\pi}_0x.f\left(sinx\right)dx=4042\pi-I_2\)

\(\Rightarrow2I_2=4042\pi\Rightarrow I_2=2021\pi\)

Điều kiện xác định x∈Rx∈R.

Đặt t=√x2+1 (t≥1t≥1)

Phương trình trở thành t2−1−4t−m+1=0

⇔t2−4t=m

⇔t2−4t=m. (1)

Để phương trình có 44 nghiệm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 11.

Xét hàm số f(t)=t2−4t có đồ thị là parabol có hoành độ đỉnh x=2∈(1;+∞) nên ta có bảng biến thiên:

Dựa BBT ta thấy để (1) có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 11 thì −4<m<−3

Vậy không có giá trị nguyên của mm thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta có: \(\left(x-2\right)\left(x^2-7x+41\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-2=0\)

hay x=2

Thay x=2 vào (2), ta được:

\(2^2-2m+m^2-5m+8=0\)

\(\Leftrightarrow m^2-7m+12=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-3\right)\left(m-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=3\\m=4\end{matrix}\right.\)

Vậy: Có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn hai phương trình có nghiệm chung

ĐKXĐ: \(\left\{{}\begin{matrix}x>0\\7^x\ge m\end{matrix}\right.\)

\(\left[{}\begin{matrix}4log_2^2x+log_2x-5=0\\7^x-m=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=2\\x_2=2^{-\dfrac{5}{4}}\\7^x=m\end{matrix}\right.\) 

Với \(m\le0\) thì pt đã cho luôn có đúng 2 nghiệm

Vậy không cần xét tiếp, hiển nhiên là có vô số giá trị thực của m rồi?